วันเสาร์ที่ 8 กันยายน พ.ศ. 2555

ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม



กฎของเลขยกกำลัง


ก่อนที่เราจะรู้จักฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึมเราต้องรู้จักกฎของเลขยกกำลังก่อนนะครับ;')


กรณีที่
a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่เท่ากับ ศูนย์
m และ n เป็นจำนวเต็ม เท่านั้น (แต่ผลที่ได้ก็สามารถนำไปใช้กับกรณีทั่วๆไปได้)
ให้ am = a x a x a x . . . x a      ;  คูณกัน m ตัว
    an = a x a x a x . . . x a       ;  คูณกัน n ตัว

1) การคูณของเลขยกกำลังที่มีฐานเดียวกัน (a เหมือนกัน) ให้นำเลขชี้กำลังมาบวกกัน
เพราะว่า     
am x an
= (a x a x a x...x a)
x
(a x a x a x ... x a)


m ตัว

n ตัว


= a x a x a x ... x a
x
a x a x a x ... x a


m
+
n ตัว
ดังนั้น
am x an
= am+n


เช่น
a2 x a3
= (a x a)x(a x a x a)




= a x a x a x a x a
,
5 ตัว


= a5
#


2) จำนวนใดๆ ยกกำลัง ศูนย์ มีค่าเท่ากับ 1
เพราะว่า    
am x a0
=
am+0



=
am

ดังนั้น
a0
=
1
, จำนวนใดๆ เมื่อคูณด้วย 1 แล้วไม่ทำไให้ค่าเปลี่ยนแปลงไป
  am x 1 = am
เช่น
80
=
1


1020
=
1


2,5000
=
1

เอะ แล้ว         ก0             จะเท่ากับ 1 หรือไม่?

3) กฎของ a-m (เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ) โดยกฎการคูณเลขยกกำลังในข้อ 1)
เพราะว่า    
am x a-m
=
am+(-m)



=
am-m



=
a0



=
1
, a0 = 1 กฏข้อ 2)
ดังนั้น
a-m
=
 1 
am
, หารทั้งสองข้างด้วย am
เช่น
19-2
=
 1  
192


5-4
=
 1 
 54


4) กฏการหารเลขยกกำลัง
กำหนดให้    
 am
 an
=
a x a x a x ... x a
a x a x a x ... x a
             ,
m ตัว
n ตัว


=
a x a x a x ... x a
,
m - n ตัว
ดังนั้น
 am
 an
=
am - n


เช่น 1) กรณี m > n,   
 25
 23
=
2 x 2 x 2 x 2 x 2
      2 x 2 x 2
,
5 ตัว
2 ตัว


=
2 x 2
,
เหลือ 5 - 3 = 2 ตัว


=
2
#
25-3
     2) กรณี m < n,
 32
 36
=
           3 x 3           
3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
,
 2 ตัว 
 6 ตัว


=
        1         
3 x 3 x 3 x 3
,
เหลือ 2 - 6 = -4 


=
 1 
 34
,
กฏข้อ 3) 


=
3-4 
#
32-6
      3) กรณี m = n
 45
 45
=
45-5 = 40 = 1



5) กฏการยกกำลังของเลขยกกำลัง
กำหนดให้     
(am)n
=
am x am x am x ... x am
,
am คูณกัน n ตัว


=
am+m+m+...+m
,
กฏข้อ 1) am x an = a m+n
ดังนั้น
(am)n
=
am x n


เช่น
(53)2
=
53 x 2




=
56



6) a1/m เลขชี้กำลังเป็น เศษส่วน
พิจารณา    

a1/m x a1/m x a1/m x ... x a1/m
   ,         m ตัว
จะได้
a1/m x a1/m x a1/m x ... x a1/m
= a(1/m)+(1/m)+(1/m)+...+(1/m)



= (a1/m)m



= a1



= a

ดังนั้น
a1/m
= m√a 

เช่น
81/3
= 3√8



= 2


สรุปกฏเกี่ยวกับเลขยกกำลังกละเลขชี้กำลัง


 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล(Exponential Function)

จากการศึกษาในเรื่องเลขยกกำลัง  ซึ่งท้ายที่สุดเราได้สนใจเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวก  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ
            แต่ได้มีนักคณิตศาสตร์ได้สังเกตเห็นว่า  ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเป็น และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ ดังนี้
            ถ้ากำหนดให้      a = 1  และ x เป็นจำนวนจริงใดแล้วจะได้
                                                ax         =          1x         =          1
ข้อสังเกต
  • ไม่ว่า x จะเป็นจำนวนจริงใด ๆ ก็ตาม 1x ก็ยังคงเท่ากับ 1 เสมอ  ดังนั้นจึงไม่น่าสนใจ  เนื่องจาก  เราทราบว่ามันเป็นอะไรแน่ ๆ อยู่แล้ว
  • เรายังไม่ทราบนะว่า  เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวกยกเว้นและเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ แสดงว่าเราจะต้องสนใจศึกษาเลขยกกำลังลักษณะนี้เป็นพิเศษ  ซึ่งจะกล่าวถึงใน  เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลดังนี้
ข้อกำหนด  (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล)
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = { (x, y) Î R ´ R+ / y = ax , a > 0, a ¹ 1 }
ข้อตกลง  ในหนังสือคณิตศาสตร์บางเล่มให้ข้อกำหนดของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = kax  เมื่อ k เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ 0 และ a เป็นจำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 แต่ในหลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลายนี้  จะถือว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะอยู่ในรูป f(x) = ax  เมื่อ a เป็น จำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 เท่านั้น
ข้อสังเกต  จากข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
  • f(x) = 1x เป็นฟังก์ชันคงตัวเนื่องจาก 1x = 1  ดังนั้นในข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  จึงไม่สนใจ  ฐาน (a) ที่เป็น 1
  • f(x) = 1x  ไม่เป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล  เนื่องจาก  f(x) = 1x เป็นฟังก์ชันคงตัว
  • จากเงื่อนไขที่ว่า  y = ax, a > 0, a ¹ 1  ทำให้เราทราบได้เลยว่าฐาน (a) มีอยู่ 2 ลักษณะ คือ  0 < a < 1 กับ a > 1
  • ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะมีอยู่ 2 ชนิด  โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของฐาน (a)  ดังนี้
ชนิดที่ 1     y = ax, 0 < a < 1
ชนิดที่ 2     y = ax, a > 1


  การแก้สมการเอ็กโปเนนเชียล   

      การแก้สมการเอกโพเนนเชียลที่มักพบอยู่บ่อยๆมี 4 วิธี คือ
1. ทำให้ฐานเท่ากัน คือทำให้ ap(x) = aq(x) แล้วสรุปว่า p(x) = q(x)
2. ทำให้กำลังเหมือนกันแต่ฐานต่างกัน คือ ap(x) = bq(x) แล้วสรุปได้ว่า p(x) = 0
3.ทำให้เป็นเลขจำนวนเดียวยกกำลังแล้วมีค่าเท่ากับ 1 คือทำเป็น (abc)u = 1 แล้วสรุปว่า u = 0


     การแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียล 


กลุ่มที่ 1 ฐานเหมือนกันเลขชี้กำลังต่างกัน
 
1. เมื่อ a  > 1 จะได้ว่า อสมการของเลขชี้กำลังจะคล้อยตามอสมการของเลขยกกำลัง
    เช่น
ax > ay จะได้ว่า x > y

ax < ay จะได้ว่า x < y
2. เมื่อ 0 < a < 1 จะได้ว่า อสมการของเลขชี้กำลังจะตรงข้ามกับอสมการของเลขชี้กำลัง
    เช่น ax > ay จะได้ว่า x < y

ax < ay จะได้ว่า x > y 

กลุ่มที่ 2 ฐานต่างกันเลขชี้กำลังเหมือนกัน
1. ถ้าอสมการของเลขยกกำลังคล้อยตามอสมการของเลขฐานจะได้ว่าเลขชี้กำลัง < 0

เช่น a < b , ax < bx จะได้ว่า x > 0

      a > b , ax > bx จะได้ว่า x > 0
2. ถ้าอสมการของเลขยกกำลังตรงข้ามกับอสมการของเลขฐานจะได้ว่าเลขชี้กำลัง < 0

เช่น a > b , ax < bx จะได้ว่า x < 0

      a < b , ax > bx จะได้ว่า x < 0

      y = loga x มีความหมายว่า x = ay

ถ้า a = 10 เรียกว่า ลอการิทึมสามัญ เขียนแทนด้วย log x
ถ้า a = e ป 2.71828 เรียกว่า ลอการิทึมธรรมชาติ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ln x ( คือ loge x )
โดเมนของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นเซตของจำนวนจริงบวก เรนจ์ของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นเซตของจำนวนจริง
สมบัติที่สำคัญ
1.
2.
loga
loga xy
=
=
loga y ก็ต่อเมื่อ x = y
loga x + loga y
3.
4.
loga(x/y)
loga xy
=
=
loga x + loga y
yloga x + loga
5. logaa = 1
6. loga1 = 0
7. ln 1 = log 1 = 0
8. ln e = 1, log 10 =1
9. eln x = x , 10log x = x
10. ln ex = x , log 10x = x
13. ax = ex ln a
      การหาค่า log x เขียน x = A ด 10n เมื่อ 1 < A < 10 หาค่าของ log A จากตาราง แล้วจะได้
log x = n + log A




     การหาค่า x เมื่อทราบค่า  log x เช่น log x = 7.8341 ค่า x ทำได้โดยการใช้เครื่องคิดเลขและการเปิดตาราง
1. เขียน log x = n + B เมื่อ 0 < B < 1 และ n เป็นจำนวนเต็ม
2. หาค่า y เมื่อ log y = B จากตารางแอนติลอการิทึมหรือตารางลอการิทึม (โดยดูย้อนกลับ) ได้ค่า y
แล้วจะได้ x = y ด 10n







ฟังก์ชันลอการิทึม  Logarithmic Function
               จากฟังก์ชันลอการิทึม มีความหมายเหมือนกับ ดังนั้นกราฟของ   จึงมีได้ 2 ลักษณะ คือ
                 

                1.กราฟฟังก์ชัน

                2.กราฟฟังก์ชัน


                                   
                          เนื่องจาก ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล   เป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก R ไปทั่วถึง R+
   ทำให้เราทราบได้เลยว่า อินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จะเป็นฟังก์ชันแน่ ๆ และยังเป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก R+ ไปทั่วถึง R
    ถ้าเราเปลี่ยน x เป็น Y และเปลี่ยน y เป็น x ที่เงื่อนไขของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จะได้ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลคือ

                      จุดกำเนิดของฟังก์ชันลอการิทึม
เนื่องจาก  นักคณิตศาสตร์ทั่วไป ไม่นิยม ให้เงื่อนไขของฟังก์ชันใด ๆ อยู่ในรูป

           ตัวแปรต้น (x) = กลุ่มของตัวแปรตาม (y)   แต่นิยมให้เงื่อนไขอยู่ในรูป

           ตัวแปรตาม (y) = กลุ่มตัวแปรต้น (x)
พบว่า ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล มีเงื่อนไข

           ตัวแปรตาม (y) = aตัวแปรต้น (x) ซึ่งอยู่ในรูปแบบที่นิยมอยู่แล้ว
แต่ ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลมีเงื่อนไข

           ตัวแปรต้น (x) = aตัวแปรตาม (y) เห็นไหมไม่อยู่ในรูปแบบที่นิยม

           ดังนั้น นักคณิตศาสตร์จึงอยากจะเปลี่ยนเงื่อนไข ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ใหม่เพื่อให้อยู่ในรูปแบบที่นิยมโดยกำหนดให้เขียน  ใหม่เป็น  แบบดื้อ ๆ เลย


                   ข้อตกลง
1. ถูกอ่านออกเสียงว่า “ลอการิทึมเอกซ์ฐานเอ” หรือ “ล็อกเอกซ์ฐานเอ”
2. ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลสามารถเขียนใหม่ได้เป็น
3. ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ถูกเรียกใหม่ว่า ฟังก์ชันลอการิทึม


                     ข้อกำหนด
       ฟังก์ชันลอการิทึม คือ

       เป็นอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล


กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม


              จากที่เราทราบอยู่แล้วว่าฟังก์ชันลอการิทึม กับ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นอินเวอร์สซึ่งกันและกัน แสดงว่า กราฟของฟัง์ชันทั้งสองจะสมมาตรซึ่งกันและกัน เมื่อเทียบกับเส้นตรง
               ดังนั้น จึงได้กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมทั้ง 2 ชนิด โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของฐาน ดังตารางต่อไปนี้

กับ
  กับ 




นิยามของลอการิทึม
       
นิยามฟังก์ชันลอการิทึม คือ อินเวอรส์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเซียลอยู่ในรูป       
     
          Exponential :    
       
          Log :             

นิยามฟังก์ชันลอการิทึมคือ   

          จึงสรุปได้ว่า ตัวเลขหลัง ต้องเป็นจำนวนจริงบวก
                    ฐานของ ต้องเป็นเลขจำนวนจริงบวก แต่ไม่เป็น 1
                    ค่าของ คือ y เป็นจำนวนจริงบวก จำนวนจริงลบ หรือศูนย์ก็ได้

อ่านว่า “ลอการิทึมเอกซ์ฐานเอ” หรือ “ลอกเอ็กซ์ฐานเอ” " loga"

           เนื่องจาก f (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียล) เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ดังนั้น จึงเป็นฟังก์ชันและเป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ด้วย


คุณสมบัติของลอการิทึม
                    คุณสมบัติ 7 ประการของลอการิทึม มีดังนี้

1. สมบัติการบวก   

Example จงรวมพจน์ของ

                                                                     
                                                                                                                    
2. สมบัติการลบ   

Example จงรวมพจน์ของ  
                                                         
                                                                                         
3. สมบัติของเลขลอการิทึม ที่เท่ากับเลขฐาน  

Example จงหาค่าของ  
                                        

               ** การนิยามในลอการิทึม จะไม่นิยามให้เป็นจำนวนลบ **
4. สมบัติของลอการิทึม 1   

      * เหตุที่เป็นเช่นนี้ได้เพราะหากว่าเราเขียนกลับจากรูปลอการิทึม
                                        

จะได้เลขยกกำลังเป็น  แต่ a เป็น - หรือ 0 ไม่ได้
5. สมบัติเลขยกกำลังของลอการิทึม  

           * คุณสมบัตินี้บอกให้เรานำเลขชี้กำลังของลอการิทึมมาไว้ด้านหน้า เพื่อนำมา
คูณกับเลขลอการิทึม *

Example  
                                
6. คุณสมบัติฐานลอการิทึมที่เขียนเป็นเลขยกกำลังได้    

Example    
                                  
7. คุณสมบัติการเปลี่ยนฐานของลอการิทึม   

          *คุณสมบัติการเปลี่ยนฐานได้นี้เป็นคุณสมบัติที่สำคัญสำหรับการแก้ปัญหาสมการลอการิทึม คุณสมบัตินี้บอกว่า
หากเราไม่พอใจฐานลอการิทึมที่โจทย์กำหนดมา เราสามารถเปลี่ยนฐานลอการิทึมใหม่ได้ตามต้องการ แต่ต้องมากว่า 0
และไม่เท่ากับ 1 ซึ่งมักเปลี่ยนเป็นฐาน 10
   *ลอการิทึมฐาน 10 เป็นลอการิทึมที่พบบ่อยและมักจะไม่นิยมเขียนเลขฐานกำกับไว้โดยตกลงว่าเมื่อ เขียนลอการิทึมที่ไม่มีฐานแสดงว่าเป็นลอการิทึมฐาน 10 เรียกว่า “ ลอการิทึมสามัญ ”


สูตรของลอการิทึม
เงื่อนไข : ฐานล็อก คือ มากกว่า 0 , ไม่เท่ากับ 1 หลังล็อก คือ มากกว่า 0

1.      ก็ต่อเมื่อ     โดย      และ       และ  
2.     และ     เมื่อ 

3.  

4.   

5.   

6.       โดยทั่วไปนิยมเปลี่ยนเป็นฐาน 10

7.    

8.   

9.   

10. 

 




กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม




               ลอการิทึมจากฐานต่างๆ : สีแดง คือ ฐานe, สีเขียว คือ ฐาน 10 และสีม่วง คือ ฐาน 1.7 แต่ละขีดช่วงบนแกนคือ 1 หน่วย โปรดสังเกตว่าลอการิทึมของทุกฐานจะผ่านจุด (1, 0) (ที่เป็นเช่นนี้ ก็เพราะจำนวนใดๆ (ที่ไม่ใช่ศูนย์) เมื่อยกกำลัง 0 มีค่าเท่ากับ 1)
               ลอการิทึม เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ที่เป็นฟังก์ชันผกผันของ ฟังก์ชันเอกโปเนนเชียล (ใช้ค่าคงตัว หรือ "ฐาน" เป็นเลขยกกำลัง) ลอการิทึมของจำนวน x ที่มีฐาน b คือจำนวน n นั่นคือ  x = bn  เขียนได้เป็น

                                 

ตัวอย่างเช่น

                     
              


เพราะว่า

                                 

หากเป็นจำนวนเต็มบวก, คือ ผลลัพธ์ของตัวประกอบ ตัว เท่ากับ 


                                            

         อย่างไรก็ตาม อย่างน้อย หาก เป็นบวก นิยามนี้อาจขยายไปยังจำนวนจริง ใดๆ ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันลอการิทึมอาจนิยามได้สำหรับจำนวนจริงบวกใดๆ สำหรับฐานบวก อื่นๆ แต่ละฐาน นอกเหนือจาก 1 ในที่นี้ คือ ฟังก์ชันลอการิทึม 1 ฟังก์ชัน และฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล 1 ฟังก์ชัน โดยมันเป็นฟังก์ชันผกผัน

         ลอการิทึมนั้นสามารถลดการดำเนินการคูณเป็นการบวก การหารเป็นการลบ ยกกำลังเป็นการคูณ และการถอดรากเป็นการหาร
ดังนั้นลอการิทึมจึงมีประโยชน์สำหรับการดำเนินการกับตัวเลขจำนวนมากให้ง่าย ขึ้นและถ้ามีการใช้อย่างแพร่หลายก่อนมีการใช้คอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะการคำนวณในด้านดาราศาสตร์ , วิศวกรรมศาสตร์ , การเดินเรือ และการทำแผนที่ โดยมีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ และยังคงใช้ในหลายรูปแบบ

ฟังก์ชันเพิ่ม



กราฟของฟังก์ชัน    จะผ่านจุด  (1,0)  เสมอ เพราะ  
ถ้า      เป็นฟังก์ชันเพิ่ม

ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก     ไปทั่วถึง 

โดยอาศัยสมบัติของฟังก์ชัน 1-1 จะได้ว่า

  ก็ต่อเมื่อ 

จากฟังก์ชันลอการิทึม    จะได้
โดเมนของฟังก์ชัน   
เรนจ์ของฟังก์ชัน   




ฟังก์ชันลด


กราฟของฟังก์ชัน     จะผ่านจุด  (1,0)  เสมอ เพราะ  
ถ้า        เป็นฟังก์ชันลด

ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก     ไปทั่วถึง 

โดยอาศัยสมบัติของฟังก์ชัน 1-1 จะได้ว่า

  ก็ต่อเมื่อ 

จากฟังก์ชันลอการิทึม      จะได้
โดเมนของฟังก์ชัน   
เรนจ์ของฟังก์ชัน   




สมาชิกบุคคลกรในกลุ่ม :)

 


 1) นาย ฐิติศักดิ์    มังน้อย ชื่อเล่น ฟุ้ก

ปัจจุบันเรียนอยู่ ม.5/1 รร.สามร้อยยอดวิทยาคม

เกิดเมื่อวันที่ 26 สิงหาคม 2539 

ภูมิลำเนา 177/4 ม.9 ต.ศิลาลอย จ.ประจวบคีรีขันธ์ 

อีเมล boystory_fukliie@hotmail.com

เฟสบุ้ค  https://www.facebook.com/boystory.fukliie

เบอร์โทรติดต่อ 088-6535032 ;')

 



 

2) นาย จิรวิทย์       สุขจิต   ชื่อเล่น เจ

ปัจจุบันเรียนอยู่ ม.5/1 รร.สามร้อยยอดวิทยาคม

เกิดเมื่อวันที่ 11 พฤศจิกายน 2539 

ภูมิลำเนา 67/1 หมู่ 9 ต.สามกระทาย อ.กุยบุรี จ.ประจวบคีรีขันธ์

อีเมล prince_198_1.1@hotmail.com

เฟสบุ้ค  https://www.facebook.com/jay.jiravit

เบอร์โทรติดต่อ 0866243093 ^^

 

 

 

3) นาย สุกัลย์    ประยูรหาญ ชื่อเล่นไอซ์

ปัจจุบันเรียนอยู่ ม.5/1 รร.สามร้อยยอดวิทยาคม

เกิดเมื่อวันที่ 5 ตุลาคม พ.ศ. 2538

ภูมิลำเนา 255 ม.10 ต.สามกระทาย อ.กุยบุรี จ.ประจวบฯ 77150

อีเมล icezero555@hotmail.co.th

เฟสบุ้ค https://www.facebook.com/sukan.prayoonhan

เบอร์โทรติดต่อ 0853774351 ><"