กฎของเลขยกกำลัง
ก่อนที่เราจะรู้จักฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึมเราต้องรู้จักกฎของเลขยกกำลังก่อนนะครับ;')
กรณีที่
a เป็นจำนวนจริงใดๆ
ที่ไม่เท่ากับ ศูนย์
m และ n เป็นจำนวเต็ม เท่านั้น (แต่ผลที่ได้ก็สามารถนำไปใช้กับกรณีทั่วๆไปได้)
ให้ am = a x a x a x . . . x a
; คูณกัน m ตัว
an =
a x a x a x . . . x a ; คูณกัน n
ตัว
1) การคูณของเลขยกกำลังที่มีฐานเดียวกัน
(a เหมือนกัน) ให้นำเลขชี้กำลังมาบวกกัน
เพราะว่า
|
am x an
|
= (a x a x a x...x a)
|
x
|
(a x a x a x ... x a)
|
|
|
m ตัว
|
|
n ตัว
|
|
|
= a x a x a x ... x a
|
x
|
a x a x a x ... x a
|
|
|
m
|
+
|
n ตัว
|
ดังนั้น
|
am x an
|
= am+n
|
|
|
เช่น
|
a2 x a3
|
= (a x a)x(a x a x a)
|
|
|
|
|
= a x a x a x a x a
|
,
|
5 ตัว
|
|
|
= a5
|
#
|
|
2) จำนวนใดๆ ยกกำลัง
ศูนย์ มีค่าเท่ากับ 1
เพราะว่า
|
am x a0
|
=
|
am+0
|
|
|
|
=
|
am
|
|
ดังนั้น
|
a0
|
=
|
1
|
, จำนวนใดๆ
เมื่อคูณด้วย 1 แล้วไม่ทำไให้ค่าเปลี่ยนแปลงไป
am x 1 = am
|
เช่น
|
80
|
=
|
1
|
|
|
1020
|
=
|
1
|
|
|
2,5000
|
=
|
1
|
|
เอะ แล้ว
ก0
จะเท่ากับ 1 หรือไม่?
3) กฎของ a-m (เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ) โดยกฎการคูณเลขยกกำลังในข้อ 1)
เพราะว่า
|
am x a-m
|
=
|
am+(-m)
|
|
|
|
=
|
am-m
|
|
|
|
=
|
a0
|
|
|
|
=
|
1
|
, a0 = 1 กฏข้อ 2)
|
ดังนั้น
|
a-m
|
=
|
1
am
|
, หารทั้งสองข้างด้วย
am
|
เช่น
|
19-2
|
=
|
1
192
|
|
|
5-4
|
=
|
1
54
|
|
4) กฏการหารเลขยกกำลัง
กำหนดให้
|
am
an
|
=
|
a x a x a x ... x a
a x a x a x ... x a
|
,
|
m ตัว
n ตัว
|
|
|
=
|
a x a x a x ... x a
|
,
|
m - n ตัว
|
ดังนั้น
|
am
an
|
=
|
am - n
|
|
|
เช่น 1) กรณี m >
n,
|
25
23
|
=
|
2 x 2 x 2 x 2 x 2
2 x 2 x 2
|
,
|
5 ตัว
2 ตัว
|
|
|
=
|
2 x 2
|
,
|
เหลือ 5 - 3 = 2 ตัว
|
|
|
=
|
22
|
#
|
25-3
|
2) กรณี m < n,
|
32
36
|
=
|
3 x 3
3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
|
,
|
2 ตัว
6 ตัว
|
|
|
=
|
1
3 x 3 x 3 x 3
|
,
|
เหลือ 2 - 6 = -4
|
|
|
=
|
1
34
|
,
|
กฏข้อ 3)
|
|
|
=
|
3-4
|
#
|
32-6
|
3) กรณี m = n
|
45
45
|
=
|
45-5 = 40 =
1
|
|
|
5) กฏการยกกำลังของเลขยกกำลัง
กำหนดให้
|
(am)n
|
=
|
am x am x
am x ... x am
|
,
|
am คูณกัน n ตัว
|
|
|
=
|
am+m+m+...+m
|
,
|
กฏข้อ 1) am x an =
a m+n
|
ดังนั้น
|
(am)n
|
=
|
am x n
|
|
|
เช่น
|
(53)2
|
=
|
53 x 2
|
|
|
|
|
=
|
56
|
|
|
6) a1/m เลขชี้กำลังเป็น เศษส่วน
พิจารณา
|
|
a1/m x a1/m x
a1/m x ... x a1/m
|
,
m ตัว
|
จะได้
|
a1/m x a1/m x
a1/m x ... x a1/m
|
= a(1/m)+(1/m)+(1/m)+...+(1/m)
|
|
|
|
= (a1/m)m
|
|
|
|
= a1
|
|
|
|
= a
|
|
ดังนั้น
|
a1/m
|
= m√a
|
|
เช่น
|
81/3
|
= 3√8
|
|
|
|
= 2
|
|
สรุปกฏเกี่ยวกับเลขยกกำลังกละเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล(Exponential Function)
จากการศึกษาในเรื่องเลขยกกำลัง ซึ่งท้ายที่สุดเราได้สนใจเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวก
และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ
แต่ได้มีนักคณิตศาสตร์ได้สังเกตเห็นว่า ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเป็น 1 และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ ดังนี้
แต่ได้มีนักคณิตศาสตร์ได้สังเกตเห็นว่า ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเป็น 1 และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ ดังนี้
ถ้ากำหนดให้ a = 1 และ x เป็นจำนวนจริงใดแล้วจะได้
ax = 1x = 1
ax = 1x = 1
ข้อสังเกต
- ไม่ว่า x จะเป็นจำนวนจริงใด ๆ ก็ตาม 1x ก็ยังคงเท่ากับ 1 เสมอ ดังนั้นจึงไม่น่าสนใจ เนื่องจาก เราทราบว่ามันเป็นอะไรแน่ ๆ อยู่แล้ว
- เรายังไม่ทราบนะว่า เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวกยกเว้น 1 และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ แสดงว่าเราจะต้องสนใจศึกษาเลขยกกำลังลักษณะนี้เป็นพิเศษ ซึ่งจะกล่าวถึงใน เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลดังนี้
ข้อกำหนด (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล)
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = { (x, y) Î R ´ R+ / y = ax , a > 0, a ¹ 1 }
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = { (x, y) Î R ´ R+ / y = ax , a > 0, a ¹ 1 }
ข้อตกลง ในหนังสือคณิตศาสตร์บางเล่มให้ข้อกำหนดของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = kax เมื่อ
k เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ 0 และ a
เป็นจำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 แต่ในหลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลายนี้
จะถือว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะอยู่ในรูป f(x) = ax
เมื่อ a เป็น จำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1
เท่านั้น
ข้อสังเกต จากข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
- f(x) = 1x เป็นฟังก์ชันคงตัวเนื่องจาก 1x = 1 ดังนั้นในข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จึงไม่สนใจ ฐาน (a) ที่เป็น 1
- f(x) = 1x ไม่เป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล เนื่องจาก f(x) = 1x เป็นฟังก์ชันคงตัว
- จากเงื่อนไขที่ว่า y = ax, a > 0, a ¹ 1 ทำให้เราทราบได้เลยว่าฐาน (a) มีอยู่ 2 ลักษณะ คือ 0 < a < 1 กับ a > 1
- ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะมีอยู่ 2 ชนิด โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของฐาน (a) ดังนี้
ชนิดที่ 1 y = ax, 0
< a < 1
ชนิดที่ 2 y = ax, a > 1
ชนิดที่ 2 y = ax, a > 1
การแก้สมการเอกโพเนนเชียลที่มักพบอยู่บ่อยๆมี 4 วิธี คือ
1. ทำให้ฐานเท่ากัน คือทำให้ ap(x) = aq(x) แล้วสรุปว่า p(x) = q(x)
2. ทำให้กำลังเหมือนกันแต่ฐานต่างกัน คือ ap(x) = bq(x) แล้วสรุปได้ว่า p(x) = 0
3.ทำให้เป็นเลขจำนวนเดียวยกกำลังแล้วมีค่าเท่ากับ 1 คือทำเป็น (abc)u = 1 แล้วสรุปว่า u = 0
การแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียล
กลุ่มที่ 1 ฐานเหมือนกันเลขชี้กำลังต่างกัน
1. เมื่อ | a > 1 | จะได้ว่า อสมการของเลขชี้กำลังจะคล้อยตามอสมการของเลขยกกำลัง | |
เช่น
|
ax > ay | จะได้ว่า x > y | |
ax < ay | จะได้ว่า x < y | ||
2. เมื่อ | 0 < a < 1 | จะได้ว่า อสมการของเลขชี้กำลังจะตรงข้ามกับอสมการของเลขชี้กำลัง | |
เช่น | ax > ay | จะได้ว่า x < y | |
ax < ay | จะได้ว่า x > y |
กลุ่มที่ 2 ฐานต่างกันเลขชี้กำลังเหมือนกัน
1. | ถ้าอสมการของเลขยกกำลังคล้อยตามอสมการของเลขฐานจะได้ว่าเลขชี้กำลัง < 0 |
เช่น a < b , ax < bx จะได้ว่า x > 0 | |
a > b , ax > bx จะได้ว่า x > 0 | |
2. | ถ้าอสมการของเลขยกกำลังตรงข้ามกับอสมการของเลขฐานจะได้ว่าเลขชี้กำลัง < 0 |
เช่น a > b , ax < bx จะได้ว่า x < 0 | |
a < b , ax > bx จะได้ว่า x < 0 | |
y = loga x มีความหมายว่า x = ay | |
ถ้า a = 10
เรียกว่า ลอการิทึมสามัญ
เขียนแทนด้วย log x ถ้า a = e ป 2.71828 เรียกว่า ลอการิทึมธรรมชาติ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ln x ( คือ loge x ) โดเมนของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นเซตของจำนวนจริงบวก เรนจ์ของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นเซตของจำนวนจริง |
สมบัติที่สำคัญ | |||
1. 2. |
loga
x loga xy |
= = |
loga
y ก็ต่อเมื่อ x = y loga x + loga y |
3. 4. |
loga(x/y)
loga xy |
= = |
loga
x + loga y yloga x + loga |
5. | logaa | = | 1 |
6. | loga1 | = | 0 |
7. | ln 1 | = | log 1 = 0 |
8. | ln e | = | 1, log 10 =1 |
9. | eln x | = | x , 10log x = x |
10. | ln ex | = | x , log 10x = x |
13. | ax | = | ex ln a |
log x = n + log A
1. เขียน log x = n + B เมื่อ 0 < B < 1 และ n เป็นจำนวนเต็ม
2. หาค่า y เมื่อ log y = B จากตารางแอนติลอการิทึมหรือตารางลอการิทึม (โดยดูย้อนกลับ) ได้ค่า y
แล้วจะได้ x = y ด 10n
ฟังก์ชันลอการิทึม Logarithmic Function
จากฟังก์ชันลอการิทึม มีความหมายเหมือนกับ ดังนั้นกราฟของ จึงมีได้ 2 ลักษณะ คือ
1.กราฟฟังก์ชัน
2.กราฟฟังก์ชัน
เนื่องจาก ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก R ไปทั่วถึง R+
ทำให้เราทราบได้เลยว่า อินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จะเป็นฟังก์ชันแน่ ๆ และยังเป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก R+ ไปทั่วถึง R
ถ้าเราเปลี่ยน x เป็น Y และเปลี่ยน y เป็น x ที่เงื่อนไขของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จะได้ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลคือ
จุดกำเนิดของฟังก์ชันลอการิทึม
เนื่องจาก นักคณิตศาสตร์ทั่วไป ไม่นิยม ให้เงื่อนไขของฟังก์ชันใด ๆ อยู่ในรูป
ตัวแปรต้น (x) = กลุ่มของตัวแปรตาม (y) แต่นิยมให้เงื่อนไขอยู่ในรูป
ตัวแปรตาม (y) = กลุ่มตัวแปรต้น (x)
พบว่า ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล มีเงื่อนไข
ตัวแปรตาม (y) = aตัวแปรต้น (x) ซึ่งอยู่ในรูปแบบที่นิยมอยู่แล้ว
แต่ ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลมีเงื่อนไข
ตัวแปรต้น (x) = aตัวแปรตาม (y) เห็นไหมไม่อยู่ในรูปแบบที่นิยม
ดังนั้น นักคณิตศาสตร์จึงอยากจะเปลี่ยนเงื่อนไข ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ใหม่เพื่อให้อยู่ในรูปแบบที่นิยมโดยกำหนดให้เขียน ใหม่เป็น แบบดื้อ ๆ เลย
ข้อตกลง
1. ถูกอ่านออกเสียงว่า “ลอการิทึมเอกซ์ฐานเอ” หรือ “ล็อกเอกซ์ฐานเอ”
2. ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลสามารถเขียนใหม่ได้เป็น
3. ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ถูกเรียกใหม่ว่า ฟังก์ชันลอการิทึม
ข้อกำหนด
ฟังก์ชันลอการิทึม คือ
เป็นอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
จากที่เราทราบอยู่แล้วว่าฟังก์ชันลอการิทึม กับ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นอินเวอร์สซึ่งกันและกัน แสดงว่า กราฟของฟัง์ชันทั้งสองจะสมมาตรซึ่งกันและกัน เมื่อเทียบกับเส้นตรง
ดังนั้น จึงได้กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมทั้ง 2 ชนิด โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของฐาน ดังตารางต่อไปนี้
|
---|
นิยามของลอการิทึม
นิยามฟังก์ชันลอการิทึม คือ อินเวอรส์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเซียลอยู่ในรูป Exponential : Log : นิยามฟังก์ชันลอการิทึมคือ จึงสรุปได้ว่า ตัวเลขหลัง ต้องเป็นจำนวนจริงบวก ฐานของ ต้องเป็นเลขจำนวนจริงบวก แต่ไม่เป็น 1 ค่าของ คือ y เป็นจำนวนจริงบวก จำนวนจริงลบ หรือศูนย์ก็ได้ อ่านว่า “ลอการิทึมเอกซ์ฐานเอ” หรือ “ลอกเอ็กซ์ฐานเอ” " loga" เนื่องจาก f (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียล) เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ดังนั้น จึงเป็นฟังก์ชันและเป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ด้วย
คุณสมบัติของลอการิทึม
คุณสมบัติ 7 ประการของลอการิทึม มีดังนี้
สูตรของลอการิทึม
เงื่อนไข : ฐานล็อก คือ มากกว่า 0 , ไม่เท่ากับ 1 หลังล็อก คือ มากกว่า 0
1. ก็ต่อเมื่อ โดย และ และ
2. และ เมื่อ
3. 4. 5. 6. โดยทั่วไปนิยมเปลี่ยนเป็นฐาน 10 7. 8. 9. 10.
กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
ลอการิทึมจากฐานต่างๆ : สีแดง คือ ฐานe, สีเขียว คือ ฐาน 10 และสีม่วง คือ ฐาน 1.7 แต่ละขีดช่วงบนแกนคือ 1 หน่วย โปรดสังเกตว่าลอการิทึมของทุกฐานจะผ่านจุด (1, 0) (ที่เป็นเช่นนี้ ก็เพราะจำนวนใดๆ (ที่ไม่ใช่ศูนย์) เมื่อยกกำลัง 0 มีค่าเท่ากับ 1)
ฟังก์ชันเพิ่ม
กราฟของฟังก์ชัน จะผ่านจุด (1,0) เสมอ เพราะ ถ้า เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก ไปทั่วถึง โดยอาศัยสมบัติของฟังก์ชัน 1-1 จะได้ว่า ก็ต่อเมื่อ จากฟังก์ชันลอการิทึม จะได้ โดเมนของฟังก์ชัน เรนจ์ของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันลด
กราฟของฟังก์ชัน จะผ่านจุด (1,0) เสมอ เพราะ สมาชิกบุคคลกรในกลุ่ม :)1) นาย ฐิติศักดิ์ มังน้อย ชื่อเล่น ฟุ้กปัจจุบันเรียนอยู่ ม.5/1 รร.สามร้อยยอดวิทยาคมเกิดเมื่อวันที่ 26 สิงหาคม 2539ภูมิลำเนา 177/4 ม.9 ต.ศิลาลอย จ.ประจวบคีรีขันธ์อีเมล boystory_fukliie@hotmail.comเฟสบุ้ค https://www.facebook.com/boystory.fukliieเบอร์โทรติดต่อ 088-6535032 ;')2) นาย จิรวิทย์ สุขจิต ชื่อเล่น เจปัจจุบันเรียนอยู่ ม.5/1 รร.สามร้อยยอดวิทยาคมเกิดเมื่อวันที่ 11 พฤศจิกายน 2539ภูมิลำเนา 67/1 หมู่ 9 ต.สามกระทาย อ.กุยบุรี จ.ประจวบคีรีขันธ์อีเมล prince_198_1.1@hotmail.comเฟสบุ้ค https://www.facebook.com/jay.jiravitเบอร์โทรติดต่อ 0866243093 ^^3) นาย สุกัลย์ ประยูรหาญ ชื่อเล่นไอซ์ปัจจุบันเรียนอยู่ ม.5/1 รร.สามร้อยยอดวิทยาคมเกิดเมื่อวันที่ 5 ตุลาคม พ.ศ. 2538ภูมิลำเนา 255 ม.10 ต.สามกระทาย อ.กุยบุรี จ.ประจวบฯ 77150อีเมล icezero555@hotmail.co.thเฟสบุ้ค https://www.facebook.com/sukan.prayoonhanเบอร์โทรติดต่อ 0853774351 ><" |
---|
เยี่ยมๆๆ
ตอบลบ